TEORI DAN LATIHAN STAT. PARAMETRIK VOL.4

0h

Oleh: M.A.Yulianto, M.Sc.

par1

par2

par3

par4

2.  Median

Ukuran nilai tengah lainnya yang mungkin dapat merupakan pilihan selain rata-rata adalah median.  Jika data pada contoh PT.Segar  diurutkan dari nilai terkecil hingga ke nilai terbesar, maka nilai tengahnya adalah Rp 230.000,-  artinya lima karyawan mempunyai upah-gaji diatasnya dan lima karyawan mempunyai upah-gaji dibawahnya.  Nilai tengah inilah yang dikatakan median. Penentuan median bisa langsung didapat jika jumlah observasinya adalah ganjil, namun jika jumlah observasinya adalah genap maka akan didapat dua nilai tengah. Dalam situasi demikian, untuk mendapatkan mediannya yaitu dengan merata-ratakan dua nilai tengah yang didapat.  Dari data contoh PT.Segar  kita dapatkan bahwa rata-rata nya adalah Rp 233.000,-  dan mediannya adalah Rp 230.000,-. Kedua nilai tersebut tidaklah berbeda jauh.

 

prosedur untuk mendapatkan median yaitu harus mengurutkan data dari yang terkecil hingga yang terbesar terlebih dahulu sebelum mengambil nilai tengahnya.  Dengan kata lain median adalah data yang ke (n + 1)/2.

Median untuk data berkelompok

Untuk data yang sudah dikelompokkan dan disajikan dalam tabel frekuensi, maka mediannya dapat dicari dengan rumus sebagai berikut:

par5

par6

3.  Modus

Modus dari suatu kelompok observasi adalah nilai observasi yang mempunyai frekuensi pemunculan paling banyak atau dengan kata lain yaitu nilai yang paling banyak muncul.  Konsep dari modus ini berhubungan dengan kemunculan yang berulang-ulang dari suatu nilai observasi.

 Dalam kegiatan bisnis sehari-hari, modus adalah ukuran nilai tengah yang paling jarang digunakan dibanding rata-rata atau median.  Modus mungkin lebih sering digunakan oleh perusahaan-perusahaan yang memproduksi barang seperti pakaian dan sepatu yang mempunyai banyak variasi dalam ukurannya.  Modus dari ukuran barang yang terjual sering digunakan untuk mengetahui barang yang paling disenangi konsumen.

 Suatu distribusi atau kelompok data mungkin tidak mempunyai modus atau mungkin mempunyai modus lebih dari satu.  Distribusi yang mempunyai satu modus disebut Unimodus, yang mempunyai dua modus disebut Bimodus dan yang mempunyai modus lebih dari dua disebut Multimodus.

contoh:  Tentukan modus dari data dibawah ini, jika ada tentukan nilainya.

a).        2,         3,         5,         7,         8.

b).        2,         5,         7,         9,         9,         9,         10,       10,       11,       12.

c).        2,         3,         4,         4,         4,         5,         5,         7,         7,         7,         9.

solusi:

Data a) tidak mempunyai modus Karena semua nilai mempunyai frekuensi yang sama.

Data b) mempunyai modus = 9  , karena nilai observasi ini mempunyai frekuensi paling banyak.

Data c) mempunyai dua modus yaitu 4 dan 7,  dua nilai observasi tersebut mempunyai frekuensi palingbanyak dan sama banyak.

Modus untuk data berkelompok

Apabila data sudah dikelompokkan dan disajikan dalam tabel frekuensi, maka modusnya mempunyai rumus sebagai berikut:

par7

 

Analisis Regresi linier sederhana

Analisa regresi adalah suatu teknik statistik yang menggunakan hubungan antara dua variabel atau lebih untuk mendapatkan garis yang fit sehingga satu variabel dapat diprediksi atau diestimasi berdasarkan variabel lainnya.  Misal, jika seseorang mengetahui hubungan antara biaya iklan dengan penjualan, maka orang tersebut dapat memprediksi hasil penjualan dengan menggunakan analisa regresi jika pengeluaran iklan sudah ditentukan.  Tujuan model regresi ini adalah untuk mendapatkan suatu bentuk hubungan antara variabel yang akan diestimasi (dependent variable) dengan variabel bebas (independent variable) dan menggunakan model tersebut untuk mengestimasi nilai dari variabel yang akan di estimasi.  Misal seorang manajer ingin melihat hubungan antara biaya iklan perusahaannya dengan hasil penjualan perusahaannya, ingin menguji hipotesa bahwa dengan bertambahnya biaya iklan maka hasil penjualannyapun akan bertambah dan lebih jauh ingin memperkirakan/estimasi seberapa kuat hubungannya.

 Model regresi mengasumsikan bahwa faktor-faktor yang diramal menunjukkan adanya suatu hubungan sebab akibat (cause-effect relationship) dengan satu atau lebih variabel bebas (independent variable). Model causal lebih digunakan untuk pengambilan keputusan (decision making) dan kebijaksanaan (policy).  Konsep sebuah hubungan antara dua variabel, kita kenal dengan hubungan fungsional dan hubungan statistik.  Sebuah hubungan fungsional antara dua variabel dinyatakan dengan sebuah formula matematika.  Jika X adalah variabel bebas (independent variable) dan Y adalah variabel tidak bebas (dependent variable), sebuah hubungan fungsional dapat ditulis sebagai berikut:

                                                Y = f(X)

untuk nilai X tertentu, fungsi f merupakan nilai dari Y

par8

par9

par10

Pada Gambar.1. terlihat adanya hubungan antara jumlah produksi dengan lamanya jam kerja. Makin besar produksi makin lama jam kerjanya. Namun jika kita perhatikan, hubungan tersebut bukanlah merupakan hubungan yang sempurna. Disana terlihat adanya sebaran, adanya variasi jam kerja pada tiap-tiap jumlah produksi, seperti pada X=30 dan X=80.  Oleh karena adanya sebaran titik-titik pada sebuah hubungan statistik, maka plot tersebut disebut diagram pencar/sebaran (scatter diagram) dalam istilah statistik.  Jika kita buat garis hubungan yang menyatakan hubungan secara statistik antara lamanya jam kerja dengan jumlah produksi seperti terlihat pada Gambar.1, sebagian besar titik-titik tersebut tidak berada tepat pada garis.  Sebaran titik-titik disekitar garis mewakili variasi pada jam kerja yang tidak berhubungan (tidak dipengaruhi) oleh jumlah produksi dan ini cenderung disebabkan karena sifat random (acak) secara alamiah.  Hubungan statistik tetap berguna meskipun tidak adanya hubungan fungsional yang secara tepat (exact).  Sebaran titik-titik sekitar garis hubungan itulah yang merupakan ciri-ciri dari sebuah hubungan statistik. Dari gambar . 2  terlihat bahwa rata-rata dari distribusi probabilita mempunyai hubungan yang sistematik pada level X.  Hubungan sistematik inilah yang dikatakan fungsi regresi dari Y terhadap X.  Garis dari fungsi regresi ini disebut garis regresi.  Fungsi regresi diatas adalah linier.  Berdasarkan contoh diatas dapat kita katakan bahwa rata-rata harapan (expected mean) lama jam kerja berubah-ubah secara linier dengan jumlah produksi.

Sebuah model regresi adalah:

–  Sebuah distribusi probabilita dari Y untuk setiap level X

– Rata-rata dari distribusi-distribusi probabilita tersebut berbeda dalam bentuk yang  sistematis dengan X.

par11

Model regresi mungkin saja terdiri dari lebih dari satu variabel bebas, misal dengan dua variabel bebas X1 dan X2.  Hubungan antara rata-rata dari distribusi probabilita ini dengan variabel bebas (X1 dan X2) ditentukan dalam sebuah regresi permukaan (surface) dalam suatu bidang tiga dimensi.

 Pada kenyataannya dalam membuat sebuah model, hanya beberapa variabel bebas tertentu yang dapat digunakan pada sebuah model regresi pada situasi tertentu.  Masalah pokok disini adalah pemilihan variabel bebas untuk model regresi sehingga model tersebut dapat digunakan dengan baik untuk kepentingan analisa. Yang perlu diperhatikan dalam pemilihan variabel bebas ini adalah:

            1.         Variabel-variabel yang akan terpilih dalam model harus dapat mengurangi variasi yang tersisa pada variabel tidak bebas Y

            2.         Variabel yang terpilih adalah variabel yang penting dalam proses analisa

            3.         Tingkat keakuratan dalam mendapatkan variabel-variabel tersebut.

par12

par13

par15

Asumsi standar adalah error berdistribusi normal. Sedikit penyimpangan dari kenormalan tidaklah menyebabkan masalah yang serius. Namun penyimpangan yang jauh dari kenormalan haruslah diperhatikan. Kenormalan dari random error dapat dipelajari dengan melihat beberapa grafik dari residu. Box plot sangat membantu untuk mendapatkan informasi tentang kesimetrisan dari residu dan kemungkinan adanya pencilan (outliers).  Selain box plot, kita juga dapat membuat histogram, diagram pencar, atau plot batang daun dari residu untuk melihat penyimpangan dari kenormalan secara umum.  Namun untuk itu diperlukan jumlah sampel yang cukup besar untuk studi regresi agar dapat memberikan informasi yang baik tentang bentuk distribusi dari random error.  Cara lain untuk melihat kenormalan adalah dengan uji Lilliefors atau dengan uji kecocokan/kesesuaian (goodness of fit test).  Jika asumsi tidak terlanggar dapat dikatakan bahwa dasar data yang digunakan sudah benar.

par16

par17

Korelasi Pearson

Statistik ini merupakan suatu ukuran asosiasi atau hubungan  yang dapat digunakan untuk menyatakan besar hubungan linier antara dua variabel ketika data adalah data kuantitatif (data berskala interval atau rasio) dan kedua variabel adalah bivariat yang berdistribusi normal, sedangkan statistik untuk mengukur hubungan dua variabel yang bersifat kualitatif dengan skala ordinal dapat menggunakan korelasi Spearman (materi ini dibahas pada pertemuan kesembilan. selain untuk melihat besar hubungan antar dua variable kualitatif, korelasi ini juga dapat digunakan untuk menguji aumsi kesamaan varians). Simbol korelasi pada ukuran populasi adalah ρ (dibaca: rho) dan pada ukuran sampel adalah r.  Formula untuk korelasi Pearson adalah sebagai berikut:

par18

par19

One thought on “TEORI DAN LATIHAN STAT. PARAMETRIK VOL.4

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s